高等数学（上）期末 · 求极限的方法与易错点
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26 个知识点 · 19 张记忆卡。作者：SeekFlaw 求瑕 内容组；发布于 2026-10-13，更新于 2026-10-14。
先判断类型
- 能直接代入的：函数在该点连续时，极限就是函数值。例：x→1 时 (x²+1)/(x+2) → 2/3。初等函数在定义区间内都连续。
- 7 种未定式：0/0、∞/∞、0·∞、∞−∞、1^∞、0^0、∞^0。前两种可以直接用洛必达法则或等价替换；后五种先变形成前两种。
- 0·∞ 和 ∞−∞ 怎么变：0·∞：把其中一个因子放到分母，变成 0/0 或 ∞/∞。∞−∞：通分或有理化，变成一个分式。
- 1^∞、0^0、∞^0 怎么变：用 u^v = e^(v·ln u)，先求指数 v·ln u 的极限。1^∞ 型还可以直接用：lim u^v = e^(lim v·(u−1))。
代数变形：消零因子与有理化
- 因式分解消零因子：例：x→2 时 (x²−4)/(x−2) = (x+2)(x−2)/(x−2) = x+2 → 4。
- 分子或分母有理化：例：x→0 时 (√(1+x) − 1)/x，分子分母同乘 √(1+x) + 1，得 1/(√(1+x) + 1) → 1/2。
- x→∞ 的有理分式：比次数：分子分母同除以 x 的最高次幂。分子次数低 → 0；次数相同 → 最高次项系数之比；分子次数高 → ∞。
两个重要极限
- 第一个：sin x / x → 1：x→0 时 sin x / x → 1。推广：□→0 时 sin□ / □ → 1，方框里是同一个式子。例：x→0 时 sin 3x / x = 3·(sin 3x / 3x) → 3。
- 第二个：(1 + 1/x)^x → e：x→∞ 时 (1 + 1/x)^x → e；等价写法：x→0 时 (1 + x)^(1/x) → e。推广：□→0 时 (1 + □)^(1/□) → e。
- 第二个极限怎么认：底数趋近 1、指数趋近 ∞（1^∞ 型）就往它上面凑：底数写成 1 + □，指数凑成 1/□ 的倍数。例：x→∞ 时 (1 + 2/x)^x → e²。
等价无穷小替换
- 最常用的一组：x→0 时：sin x ~ x，tan x ~ x，arcsin x ~ x，arctan x ~ x，ln(1+x) ~ x，eˣ − 1 ~ x。
- 另外三个：x→0 时：1 − cos x ~ x²/2，(1+x)^a − 1 ~ a·x，aˣ − 1 ~ x·ln a（a > 0 且 a ≠ 1）。
- 替换的条件：只能替换乘除中的因子，加减里一般不能直接替换。例：x→0 时 (tan x − sin x)/x³，把 tan x、sin x 都换成 x 会得 0，正确做法是写成 tan x·(1 − cos x)/x³ ~ x·(x²/2)/x³ →…
洛必达法则与夹逼准则
- 洛必达的使用条件：① 是 0/0 或 ∞/∞ 型；② 在该点附近（该点本身可以除外）f、g 都可导，且 g′(x) ≠ 0；③ lim f′/g′ 存在（或为 ∞）。三条都满足，才能写 lim f/g = lim f′/g′。
- 用之前先化简：先用等价无穷小替换、提出极限不为 0 的因子，再求导，避免越求越复杂。每求一次导都要重新检查还是不是 0/0 或 ∞/∞。
- 夹逼准则：如果在该点附近（或 x 足够大时）g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 g、h 的极限都是 A，那么 f 的极限也是 A。例：x→+∞ 时 −1/x ≤ sin x / x ≤ 1/x，两边都趋近 0，所以 sin x / x → 0。
常见易错点
- 分清 x→0 还是 x→∞：sin x / x 在 x→0 时极限是 1，在 x→∞ 时是 0（有界函数乘无穷小）。用公式前先看趋近条件。
- 洛必达失效不代表极限不存在：例：x→∞ 时 (x + sin x)/x，求导后得 1 + cos x，没有极限；但原式 = 1 + sin x / x → 1。洛必达法则失效就换方法。
- 分段点、绝对值要看左右极限：在分段点、|x|/x、e^(1/x) 这类位置，左右极限可能不同，要分别求，不相等则极限不存在。例：x→0 时 |x|/x 的左极限是 −1、右极限是 1；e^(1/x) 的左极限是 0、右极限是 +∞。
常见问题
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