高等数学整门期末前 7 天怎么复习：极限到微分方程按天排表

按天排表

1. 第 1 天：盘点整门课，学极限与连续：先按老师划的范围把整门课拆成五块（极限与连续、导数与微分、中值定理与导数应用、不定积分、定积分与微分方程；级数、多元微积分只在你们这学期学过时才排），每块标「会 / 半会 / 不会」。今天学第一块。样题：lim x→0 (sin x)/x 等于多少？答：1。常用等价无穷小（x→0）：sin x ~ x，e^x−1 ~ x，ln(1+x) ~ x，1−cos x ~ x²/2。检查办法：能不看笔记写出这四条等价无穷小；清单每块都有标记。
   对应官方图：示例 · 考前 7 天突击路线
2. 第 2 天：学导数与微分，先回头过第 1 天：先遮住答案过第 1 天的卡，再学第二块。样题：(x^n)′、(sin x)′、(ln x)′、(arctan x)′ 各是多少？答：n·x^(n−1)；cos x；1/x；1/(1+x²)。可导一定连续，反过来不成立：y=|x| 在 x=0 连续但不可导。检查办法：给一个复合函数，能写出链式法则每一步；说出 |x| 在 0 处为什么不可导。
   对应官方图：示例 · 遗忘曲线复习日历
3. 第 3 天：学中值定理与导数应用，回头过前两天：先清前两天的卡，再学第三块。样题：罗尔定理的条件是什么？答：f 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导，且 f(a)=f(b)，则存在 ξ∈(a,b) 使 f′(ξ)=0。拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)。洛必达法则只用于 0/0 或 ∞/∞ 型，用之前先确认类型。样题：lim x→0 (e^x−1−x)/x²，洛必达两次得 1/2。检查办法：能写出罗尔定理三个条件；那道极限能手算到 1/2。
4. 第 4 天：学不定积分，回头过前三天：先清前三天，再学第四块。样题：∫x·e^x dx 等于多少？答：用分部积分 ∫u dv = uv − ∫v du，取 u=x，dv=e^x dx，得 x·e^x − e^x + C，即 (x−1)e^x + C。基本公式：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C（n≠−1），∫1/x dx = ln|x| + C，∫sin x dx = −cos x + C。检查办法：手算那道分部积分，再求导验算回到 x·e^x。
5. 第 5 天：学定积分与微分方程，这是最后一天学新的：先清前四天，再学第五块，微分方程只学你们课上讲过的类型。样题：∫₀¹ x² dx 等于多少？答：1/3（牛顿—莱布尼茨公式 F(1)−F(0)）。换元求定积分要同时换上下限。微分方程：y′=2xy 是可分离变量，通解 y = C·e^(x²)；y″−3y′+2y=0 的特征方程 r²−3r+2=0 有根 1 和 2，通解 y = C₁e^x + C₂e^(2x)。检查办法：手算 ∫₀¹ x·e^x dx（答案是 1）；写出那个二阶方程的通解。
6. 第 6 天：遮住答案，每块手算一道完整大题：不学新的。五块各挑一道，先自己写出每一步，再对答案。高数丢分最多的是符号、漏 +C、漏换限，所以今天重点是步骤写全、写完立刻验算（算出的原函数求导，极限代一个小值估一估）。检查办法：每道大题步骤完整；错的步骤用红笔标出。
   对应官方图：示例 · 四种自测形式
7. 第 7 天：只扫易错点，早睡：把每块的易错点过一遍：不定积分别漏 +C；定积分换元别忘换限；用洛必达前先看是不是 0/0 或 ∞/∞；可导蕴含连续、反之不成立；变上限积分求导 d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)。晚上备好证件、文具和计算器（以学校通知允许的为准），照平时的时间睡。检查办法：易错点清单每一行划掉或标成「还不会」。
   对应官方图：示例 · 考前一晚清单

这页用到的示例导图（共 5 张）

这些是讲复习方法的通用导图，不是这门课的知识点图；卡数是 2026 年 10 月 19 日按有背面的叶子卡统计的，导图以后有改动，以图为准。

学习方法示例导图

• 示例 · 考前 7 天突击路线：17 张卡
• 示例 · 遗忘曲线复习日历：12 张卡
• 示例 · 错题复盘三栏法：15 张卡
• 示例 · 四种自测形式：16 张卡
• 示例 · 考前一晚清单：12 张卡

为什么后三天只自测、不学新的

Dunlosky 等人（2013）的综述评估了十种常见学习方法，据摘要，练习测验和分散练习评为高效用，重读评得较低（全文未读）。所以第 5 到第 7 天的做法是遮住答案先自己写、自己说，再核对，不是把笔记再读一遍。

Cepeda 等人（2006）综述了分散练习的实验，据摘要，要记的时间越长，合适的复习间隔也越长；要撑到一周内的考试，间隔可以短。所以这张表把复习挤在 7 天里，每天先过旧的、再学新的。

这张表的边界

高等数学各校的教学大纲、教材版本、考试形式差别很大，这页拆的「考点组」是常见章节的示例拆法，不是任何学校的考试范围；极限、导数、不定积分、定积分的内容各校差别不大，多元微积分、级数、微分方程放不放在这一学期，各校不同，请按你们的范围增删。

我们没有做过对照实验，不承诺提分，也不预测考什么。样题答案是常见结论的简写，遇到和你们教材、老师讲法不一致的地方，以教材和老师为准。二阶以上的微分方程、级数、多元微积分，这页只在样题里点到，没有展开。

常见问题

只剩 3 天还来得及吗？

来得及，但要压缩：把前 4 天的新学压成 2 天（只学老师划过重点的组），中间 1 天只自测，最后 1 天只扫错题和易错点。压缩后没验证过效果，能做的是把「不学新的」那一天保住。

每天要花多长时间？

这张表没有规定时长，按你手头的时间缩放：每天的任务是「一组新考点 + 回头过旧的 + 一道手写题」。每天几小时由你的课表决定，我们没有测过多久合适。

一定要用 SeekFlaw 才能这样排吗？

不用。把每组考点拆成问答卡，按表里的天数摊，纸笔或别的卡片工具都行。用我们的工具复习时，复习日期由 FSRS 按你的评分算，这张表是手排示例，不是产品的排期。

照这张表复习，成绩一定会提高吗？

不一定，我们也不承诺。排法依据的是分散练习和练习测验的研究，不是针对这门课期末成绩的实验。

和「期末考前 7 天（高数极限示例）」有什么不同？

那一页只拆了极限这一章，每天一个极限题型。这一页是整门课的 7 天：五块各一天，样题覆盖极限、导数、中值定理、不定积分、定积分和微分方程。如果你只剩极限没过，请看那一页。

信息来源

• Dunlosky 等（2013）, Improving Students' Learning With Effective Learning Techniques, Psychological Science in the Public Interest 14(1):4–58（据 Europe PMC 收录的摘要，2026-10-19 查看；全文未读）
• Cepeda 等（2006）, Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis, Psychological Bulletin 132(3):354–380（据 Europe PMC 收录的摘要，2026-10-19 查看）
• SeekFlaw 求瑕示例导图「错题复盘三栏法」「四种自测形式」等（卡数为 2026-10-19 统计）